Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.

Например: 3 + 7 = 10 - равенство.

Равенство может быть верным и неверным.

Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти та­кое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства

Неравенства также могут быть верными и неверными.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.

Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:

10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.

Наппимеп:

Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.

Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.

Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.

Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.

Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.

Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:

Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:

 + 7 < 10; 5 -  > 2;  > 0;  > О

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

а + 7>10; 12-d<7.

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подхо­дит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Равенство и неравенство

На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство» .

Попробуйте ответить на вопрос:

У стены стоят кадушки,

В каждой ровно по лягушке.

Если б было пять кадушек,

Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)

Рис. 1

В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.

Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л.

Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)

Рис. 2

Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)

Рис. 3

Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)

Рис. 4

Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т.

Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)

Рис. 5

Вывод : сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны , в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно . Эта запись называется равенством . (рис. 6)

Рис. 6

Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны . Ставим между числами или буквами знак неравно . Эта запись называется неравенством. (рис. 7)

Рис. 7

Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)

Рис. 8

Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)

Рис. 9

Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.

Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.

Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше.

Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10)

Рис. 10

Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < » или знак больше « > » :

На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:

7 ≠ 4 и 7 > 4

Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:

Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)

Рис. 11

На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ .

Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.

Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.

Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12)

Рис. 12

На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >.

Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.

Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство.

Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13)

Рис. 13

Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.

Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)

Рис. 14

В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7

На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15)

Рис. 15

Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3

В можно подставить только одно число 8.

На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. - М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. - М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. - М7: Русское слово, 2012.

1. Igraem.pro ().
2. Slideshare.net ().
3. Iqsha.ru ().

Домашнее задание

1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.

2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=».

3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».

1. Понятие равенства и неравенства

2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств

Числовые равенства и неравенства

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g , которое называют числовым равенством.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Свойства равенств и неравенств

Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соеди­нить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравен­ство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения число­вое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим неко­торые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих числовых равенств и нера­венств истинны:

а) (5,05: 1/40 - 2,8 ·5/6) ·3 +16·0,1875 = 602;

б) (1/14 – 2/7) : (-3) – 6 1/13: (-6 1/13)> (7- 8 4/5) ·2 7/9 – 15: (1/8 – 3/4);

в) 1,0905:0,025 - 6,84·3,07 + 2,38:100 < 4,8:(0,04·0,006).

2. Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13 93 = 31 39, 14 82 = 41 28, 23 64 = 32 46. Можно ли утверждать, что произведение лю­бых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?

3. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:

a)2х > 2у; в) 2х-7< 2у-7;

б)-x /3<-y /3; г)-2х-7<-2у-7?

4. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) -3,7a * -3,7b ; г) –a /3 * -b /3 ;

б) 0,12а * 0,12b ; д) -2(а + 5) * -2(b + 5);

в)a /7 * b /7; е) 2/7 (a -1) * 2/7 (b -1).

5. Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 3/4. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?

6. Выполните задания, которые предназначаются ученикам на­чальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в началь­ном курсе математики понятия числового равенства и числового не­ равенства.

Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.

Например: 3 + 7 = 10 - равенство.

Равенство может быть верным и неверным.

Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти та­кое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства

Неравенства также могут быть верными и неверными.

Например:

Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.

Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:

10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.

Наппимеп:

Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.

Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.

Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.

Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:

При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:

Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:

Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.

Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.

Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:

Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:

 + 7 < 10; 5 -  > 2;  > 0;  > О

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

а + 7>10; 12-d<7.

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подхо­дит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Равенство и неравенство

На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство» .

Попробуйте ответить на вопрос:

У стены стоят кадушки,

В каждой ровно по лягушке.

Если б было пять кадушек,

Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)

Рис. 1

В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.

Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л.

Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)

Рис. 2

Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)

Рис. 3

Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)

Рис. 4

Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т.

Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)

Рис. 5

Вывод : сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны , в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно . Эта запись называется равенством . (рис. 6)

Рис. 6

Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны . Ставим между числами или буквами знак неравно . Эта запись называется неравенством. (рис. 7)

Рис. 7

Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)

Рис. 8

Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)

Рис. 9

Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.

Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.

Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше.

Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10)

Рис. 10

Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < » или знак больше « > » :

На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:

7 ≠ 4 и 7 > 4

Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:

Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)

Рис. 11

На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ .

Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.

Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.

Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12)

Рис. 12

На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >.

Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.

Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство.

Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13)

Рис. 13

Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.

Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)

Рис. 14

В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7

На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15)

Рис. 15

Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3

В можно подставить только одно число 8.

На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. - М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. - М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. - М7: Русское слово, 2012.

1. Igraem.pro ().
2. Slideshare.net ().
3. Iqsha.ru ().

Домашнее задание

1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.

2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=».

3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».

Похожие статьи